Fórmula de la Distancia en Geometría

La fórmula de la distancia calcula la distancia en línea recta entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) en el plano de coordenadas. Es $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . En palabras: eleva al cuadrado la diferencia horizontal, eleva al cuadrado la diferencia vertical, súmalas y saca la raíz cuadrada. La fórmula es una aplicación directa del teorema de Pitágoras: la distancia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias horizontal y vertical entre los puntos.

Explorador interactivo de la distancia

Arrastra el punto A o B (o usa las teclas de flecha tras hacer clic en un punto) y observa cómo la distancia y su sustitución completa se actualizan. Activa el triángulo rectángulo para ver la deducción de Pitágoras.

Drag a point, or click it and use the arrow keys. Coordinates snap to the grid.

Point A (x₁, y₁)

Point B (x₂, y₂)

Show right-triangle derivation

Distance 5

Step-by-step substitution

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9 + 16) = 5

Deducción a partir del teorema de Pitágoras

Traza una línea horizontal y una vertical entre los dos puntos para formar un triángulo rectángulo. El cateto horizontal mide $|x_2 - x_1|$ y el cateto vertical mide $|y_2 - y_1|$ . Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa —la distancia d— cumple:

d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2

Al sacar la raíz cuadrada positiva obtenemos la fórmula de la distancia. Como ambas diferencias están al cuadrado, el orden de los puntos no importa: la distancia de A a B es igual que la distancia de B a A.

Ejemplos resueltos

(0, 0) a (3, 4): d = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Es el clásico triángulo rectángulo 3-4-5.
(1, 2) a (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
(−2, −3) a (4, 5): d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la distancia en geometría?

La fórmula de la distancia da la distancia en línea recta entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂): d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Para (0, 0) y (3, 4), la distancia es √(9 + 16) = 5.

¿Cómo se deduce la fórmula de la distancia?

Proviene del teorema de Pitágoras. La diferencia horizontal |x₂ − x₁| y la vertical |y₂ − y₁| son los catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia es la hipotenusa: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

¿La fórmula de la distancia es lo mismo que el teorema de Pitágoras?

Son la misma idea. El teorema de Pitágoras a² + b² = c² aplicado a las diferencias horizontal y vertical entre dos puntos da la fórmula de la distancia. La distancia es la hipotenusa c.